Single Number III

Question

• lintcode: (84) Single Number III

Given 2*n + 2 numbers, every numbers occurs twice except two, find them.

Example
Given [1,2,2,3,4,4,5,3] return 1 and 5

Challenge
O(n) time, O(1) extra space.

题解

题 Single Number 的 follow up, 不妨设最后两个只出现一次的数分别为 x1, x2. 那么遍历数组时根据两两异或的方法可得最后的结果为 x1 ^ x2, 如果我们要分别求得 x1 和 x2, 我们可以根据 x1 ^ x2 ^ x1 = x2 求得 x2, 同理可得 x_1. 那么问题来了，如何得到x1和x2呢？看起来似乎是个死循环。大多数人一般也就能想到这一步(比如我...)。

这道题的巧妙之处在于利用x1 ^ x2的结果对原数组进行了分组，进而将x1和x2分开了。具体方法则是利用了x1 ^ x2不为0的特性，如果x1 ^ x2不为0，那么x1 ^ x2的结果必然存在某一二进制位不为0（即为1），我们不妨将最低位的1提取出来，由于在这一二进制位上x1和x2必然相异，即x1, x2中相应位一个为0，另一个为1，所以我们可以利用这个最低位的1将x1和x2分开。又由于除了x1和x2之外其他数都是成对出现，故与最低位的1异或时一定会抵消，十分之精妙！

Java

public class Solution {
    /**
     * @param A : An integer array
     * @return : Two integers
     */
    public List<Integer> singleNumberIII(int[] A) {
        ArrayList<Integer> nums = new ArrayList<Integer>();
        if (A == null || A.length == 0) return nums;

        int x1xorx2 = 0;
        for (int i : A) {
            x1xorx2 ^= i;
        }

        // get the last 1 bit of x1xorx2, e.g. 1010 ==> 0010
        int last1Bit = x1xorx2 - (x1xorx2 & (x1xorx2 - 1));
        int single1 = 0, single2 = 0;
        for (int i : A) {
            if ((last1Bit & i) == 0) {
                single1 ^= i;
            } else {
                single2 ^= i;
            }
        }

        nums.add(single1);
        nums.add(single2);
        return nums;
    }
}

源码分析

求一个数二进制位1的最低位方法为 x1xorx2 - (x1xorx2 & (x1xorx2 - 1)), 其他位运算的总结可参考 Bit Manipulation。利用last1Bit可将数组的数分为两组，一组是相应位为0，另一组是相应位为1.

复杂度分析

两次遍历数组，时间复杂度 $O(n)$, 使用了部分额外空间，空间复杂度 $O(1)$.

Reference

• Single Number III 参考程序 Java/C++/Python