Fast Power

Question

• lintcode: (140) Fast Power

题解

数学题，考察整数求模的一些特性，不知道这个特性的话此题一时半会解不出来，本题中利用的关键特性为：

(a * b) % p = ((a % p) * (b % p)) % p

即 a 与 b 的乘积模 p 的值等于 a, b 分别模 p 相乘后再模 p 的值，只能帮你到这儿了，不看以下的答案先想想知道此关系后如何解这道题。

首先不太可能先把 $a^n$ 具体值求出来，太大了... 所以利用以上求模公式，可以改写 $a^n$ 为：

$a^n = a^{n/2} \cdot a^{n/2} = a^{n/4} \cdot a^{n/4} \cdot a^{n/4} \cdot a^{n/4} \cdot = ...$

至此递归模型建立。

Python

class Solution:
    """
    @param a, b, n: 32bit integers
    @return: An integer
    """
    def fastPower(self, a, b, n):
        if n == 1:
            return a % b
        elif n == 0:
            # do not use `1` instead `1 % b` because `b = 1`
            return 1 % b
        elif n < 0:
            return -1

        # (a * b) % p = ((a % p) * (b % p)) % p
        product = self.fastPower(a, b, n / 2)
        product = (product * product) % b
        if n % 2 == 1:
            product = (product * a) % b

        return product

C++

class Solution {
public:
    /*
     * @param a, b, n: 32bit integers
     * @return: An integer
     */
    int fastPower(int a, int b, int n) {
        if (1 == n) {
            return a % b;
        } else if (0 == n) {
            // do not use 1 instead (1 % b)! b = 1
            return 1 % b;
        } else if (0 > n) {
            return -1;
        }

        // (a * b) % p = ((a % p) * (b % p)) % p
        // use long long to prevent overflow
        long long product = fastPower(a, b, n / 2);
        product = (product * product) % b;
        if (1 == n % 2) {
            product = (product * a) % b;
        }

        // cast long long to int
        return (int) product;
    }
};

Java

class Solution {
    /*
     * @param a, b, n: 32bit integers
     * @return: An integer
     */
    public int fastPower(int a, int b, int n) {
        if (n == 1) {
            return a % b;
        } else if (n == 0) {
            return 1 % b;
        } else if (n < 0) {
            return -1;
        }

        // (a * b) % p = ((a % p) * (b % p)) % p
        // use long to prevent overflow
        long product = fastPower(a, b, n / 2);
        product = (product * product) % b;
        if (n % 2 == 1) {
            product = (product * a) % b;
        }

        // cast long to int
        return (int) product;
    }
};

源码分析

分三种情况讨论 n 的值，需要特别注意的是n == 0，虽然此时 $a^0$ 的值为1，但是不可直接返回1，因为b == 1时应该返回0，故稳妥的写法为返回1 % b.

递归模型中，需要注意的是要分 n 是奇数还是偶数，奇数的话需要多乘一个 a, 保存乘积值时需要使用long型防止溢出，最后返回时强制转换回int。

复杂度分析

使用了临时变量product，空间复杂度为 $O(1)$, 递归层数约为 $\log n$, 时间复杂度为 $O(\log n)$, 栈空间复杂度也为 $O(\log n)$.

Reference

• Lintcode: Fast Power 解题报告 - Yu's Garden - 博客园
• Fast Power 参考程序 Java/C++/Python