Unique Subsets

Question

• leetcode: Subsets II | LeetCode OJ
• lintcode: (18) Unique Subsets

Problem Statement

Given a list of numbers that may has duplicate numbers, return all possible subsets.

Example

If S = [1,2,2], a solution is:

[
  [2],
  [1],
  [1,2,2],
  [2,2],
  [1,2],
  []
]

Note

Each element in a subset must be in non-descending order. The ordering between two subsets is free. The solution set must not contain duplicate subsets.

题解

此题在上一题的基础上加了有重复元素的情况，因此需要对回溯函数进行一定的剪枝，对于排列组合的模板程序，剪枝通常可以从两个地方出发，一是在返回结果result.add之前进行剪枝，另一个则是在list.add处剪枝，具体使用哪一种需要视情况而定，哪种简单就选谁。

由于此题所给数组不一定有序，故首先需要排序。有重复元素对最终结果的影响在于重复元素最多只能出现n次(重复个数为n时)。具体分析过程如下(此分析过程改编自 九章算法)。

以 $[1, 2_1, 2_2]$ 为例，若不考虑重复，组合有 $[], [1], [1, 2_1], [1, 2_1, 2_2], [1, 2_2], [2_1], [2_1, 2_2], [2_2]$. 其中重复的有 $[1, 2_2], [2_2]$. 从中我们可以看出只能从重复元素的第一个持续往下添加到列表中，而不能取第二个或之后的重复元素。参考上一题Subsets的模板，能代表「重复元素的第一个」即为 for 循环中的pos变量，i == pos时，i处所代表的变量即为某一层遍历中得「第一个元素」，因此去重时只需判断i != pos && s[i] == s[i - 1](不是 i + 1, 可能索引越界，而i 不等于 pos 已经能保证 i >= 1).

C++

class Solution {
public:
    /**
     * @param S: A set of numbers.
     * @return: A list of lists. All valid subsets.
     */
    vector<vector<int> > subsetsWithDup(const vector<int> &S) {
        vector<vector<int> > result;
        if (S.empty()) {
            return result;
        }

        vector<int> list;
        vector<int> source(S);
        sort(source.begin(), source.end());
        backtrack(result, list, source, 0);

        return result;
    }

private:
    void backtrack(vector<vector<int> > &ret, vector<int> &list,
              vector<int> &s, int pos) {

        ret.push_back(list);

        for (int i = pos; i != s.size(); ++i) {
            if (i != pos && s[i] == s[i - 1]) {
                continue;
            }
            list.push_back(s[i]);
            backtrack(ret, list, s, i + 1);
            list.pop_back();
        }
    }
};

Java

class Solution {
    /**
     * @param S: A set of numbers.
     * @return: A list of lists. All valid subsets.
     */
    public ArrayList<ArrayList<Integer>> subsetsWithDup(ArrayList<Integer> S) {
        ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
        if (S == null) return result;
        // 
        Collections.sort(S);
        List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
        dfs(S, 0, list, result);
        return result;
    }

    private void dfs(ArrayList<Integer> S, int pos, List<Integer> list, 
                     ArrayList<ArrayList<Integer>> result) {

        result.add(new ArrayList<Integer>(list));
        for (int i = pos; i < S.size(); i++) {
            // exlude duplicate
            if (i != pos && S.get(i) == S.get(i - 1)) {
                continue;
            }
            list.add(S.get(i));
            dfs(S, i + 1, list, result);
            list.remove(list.size() - 1);
        }
    }
}

源码分析

相比前一道题多了去重的判断。

复杂度分析

和前一道题差不多，最坏情况下时间复杂度为 $2^n$. 空间复杂度为 $O(n)$.

Reference

• Subsets II | 九章算法