First Missing Positive

Question

• leetcode: First Missing Positive | LeetCode OJ
• lintcode: (189) First Missing Positive

Given an unsorted integer array, find the first missing positive integer.

Example
Given [1,2,0] return 3, and [3,4,-1,1] return 2.

Challenge
Your algorithm should run in O(n) time and uses constant space.

題解

容易想到的方案是先排序，然後遍歷求得缺的最小整數。排序算法中常用的基於比較的方法時間複雜度的理論下界為 $O(n \log n)$, 不符題目要求。常見的能達到線性時間複雜度的排序算法有 基數排序，計數排序 和 桶排序。

基數排序顯然不太適合這道題，計數排序對元素落在一定區間且重複值較多的情況十分有效，且需要額外的 $O(n)$ 空間，對這道題不太合適。最後就只剩下桶排序了，桶排序通常需要按照一定規則將值放入桶中，一般需要額外的 $O(n)$ 空間，乍看之下似乎不太適合在這道題中使用，但是若能設定一定的規則原地交換原數組的值呢？這道題的難點就在於這種規則的設定。

設想我們對給定數組使用桶排序的思想排序，第一個桶放1，第二個桶放2，如果找不到相應的數，則相應的桶的值不變(可能為負值，也可能為其他值)。

那麼怎麼才能做到原地排序呢？即若 $A[i] = x$, 則將 x 放到它該去的地方 - $A[x - 1] = x$, 同時將原來 $A[x - 1]$ 地方的值交換給 $A[i]$.

排好序後遍歷桶，如果不滿足 $f[i] = i + 1$, 那麼警察叔叔就是它了！如果都滿足條件怎麼辦？那就返回給定數組大小再加1唄。

C++

class Solution {
public:
    /**
     * @param A: a vector of integers
     * @return: an integer
     */
    int firstMissingPositive(vector<int> A) {
        const int size = A.size();

        for (int i = 0; i < size; ++i) {
            while (0 < A[i]  && A[i] <= size &&
                  (A[i] != i + 1) && (A[i] != A[A[i] - 1])) {
                int temp = A[A[i] - 1];
                A[A[i] - 1] = A[i];
                A[i] = temp;
            }
        }

        for (int i = 0; i < size; ++i) {
            if (A[i] != i + 1) {
                return i + 1;
            }
        }

        return size + 1;
    }
};

源碼分析

核心程式為那幾行交換，但是要正確處理各種邊界條件則要下一番功夫了，要能正常的交換，需滿足以下幾個條件：

1. A[i] 為正數，負數和零都無法在桶中找到生存空間...
2. A[i] \leq size 當前索引處的值不能比原陣列容量大，大了的話也沒用啊，一定不是缺的第一個正數。
3. A[i] != i + 1, 都滿足條件了就不用交換了。
4. A[i] != A[A[i] - 1], 避免欲交換的值和自身相同，否則有重複值時會產生死循環。

如果滿足以上四個條件就可以愉快地交換彼此了，使用while循環處理，此時i並不自增，直到將所有滿足條件的索引處理完。

注意交換的寫法，若寫成

int temp = A[i];
A[i] = A[A[i] - 1];
A[A[i] - 1] = temp;

這又是滿滿的 bug :( 因為在第三行中A[i]已不再是之前的值，第二行賦值時已經改變，故源碼中的寫法比較安全。

最後遍歷桶排序後的數組，若在數組大小範圍內找到不滿足條件的解，直接返回，否則就意味著原數組給的元素都是從1開始的連續正整數，返回數組大小加1即可。

複雜度分析

「桶排序」需要遍歷一次原數組，考慮到while循環也需要一定次數的遍歷，故時間複雜度至少為 $O(n)$. 最後求索引值最多遍歷一次排序後數組，時間複雜度最高為 $O(n)$, 用到了temp作為中間交換，空間複雜度為 $O(1)$.

Reference

• Find First Missing Positive | N00tc0d3r
• LeetCode: First Missing Positive 解題報告 - Yu's Garden - 博客園
• First Missing Positive | 九章算法