Math

本小節總結一些與數學（尤其是數論部分）有關的基礎，主要總結了《挑戰程序設計競賽》第二章。

最大公因數(GCD, Greatest Common Divisor)

常用的方法爲輾轉相除法，也稱爲歐幾里得算法。不妨設函數gcd(a, b)是自然是a, b的最大公因數，不妨設a > b, 則有 $a = b \times p + q$, 那麼對於gcd(b, q)則是b和q的最大公因數，也就是說gcd(b, q)既能整除b, 又能整除a(因爲 $a = b \times p + q$, p是整數)，如此反覆最後得到gcd(a, b) = gcd(c, 0), 第二個數爲0時直接返回c. 如果最開始a < b, 那麼gcd(b, a % b) = gcd(b, a) = gcd(a, b % a).

關於時間複雜度的證明：可以分a > b/2和a < b/2證明，對數級別的時間複雜度，過程略。

與最大公因數相關的還有最小公倍數(LCM, Lowest Common Multiple), 它們兩者之間的關係爲 $lcm(a, b) \times gcd(a, b) = |ab|$.

Java

public static long gcd(long a, long b) {
    return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);
}

Problem

給定平面上兩個座標 P1=(x1, y1), P2=(x2,y2), 問線段 P1P2 上除 P1, P2以外還有幾個整數座標點？

Solution

問的是線段 P1P2, 故除 P1,P2以外的座標需在 x1,x2,y1,y2範圍之內，且不包含端點。在兩端點不重合的前提下有：

$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 那麼若得知 $M = gcd(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$, 則有 $x - x_1$ 必爲 $x_2 - x_1 / M$ 的整數倍大小，又因爲 $x_1 < x < x_2$, 故最多有 $M - 1$個整數座標點。

擴展歐幾里得算法

求解整係數 $x$ 和 $y$ 滿足 $d = gcd(a, b) = ax + by$, 仿照歐幾里得算法，應該要尋找 $gcd(b, a \% b) = bx^\prime + (a \% b)y^\prime$.

Java

public class Solution {
    public static int gcd(int a, int b) {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }

    public static int[] gcdExt(int a, int b) {
        if (b == 0) {
            return new int[] {a, 1, 0};
        } else {
            int[] vals = gcdExt(b, a % b);
            int d = vals[0];
            int x = vals[2];
            int y = vals[1];
            y -= (a / b) * x;
            return new int[] {d, x, y};
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int a = 4, b = 11;
        int[] result = gcdExt(a, b);
        System.out.printf("d = %d, x = %d, y = %d.\n", result[0], result[1], result[2]);
    }
}

Problem

求整數 $x$ 和 $y$ 使得 $ax+by=1$.

Solution

不妨設gcd(a, b) = M, 那麼有 $M(a^\prime x+b^\prime y)=1$ ==> $a^\prime x+b^\prime y=1/M$ 如果 M 大於1，由於等式左邊爲整數，故等式不成立，所以要想題中等式有解，必有gcd(a, b) = 1.

擴展提：題中等式右邊爲1，假如爲2又會怎樣？

提示：此時$c = k \cdot gcd(a, b), x^\prime = k\cdot x ==> c\ \%\ gcd(a, b) == 0$, c 爲等式右邊的正整數值。詳細推導見 How to find solutions of linear Diophantine ax + by = c?